Question

（本小题满分12分）
已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。
（Ⅰ）求轨迹W的方程；   （Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）对于的任意一确定的位置，在直线上是否存在一点Q，使得，并说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可知 ∴，
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设其方程为，则  ∴，∴轨迹W的方程为
（Ⅱ）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，设的方程为，由得，又设，
则                              高#考#资#源#
由①②③解得，∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即，故所求直线的方程为：；
（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点若直线的斜率不存在，
则以AB为直径的圆为，可知其与直线相交；
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
由（2）知且，又为双曲线的右焦点，
双曲线的离心率e=2，则
设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径的距离为d，则
∴
∵  ∴即，即直线与圆S相交。
综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；
故对于的任意一确定的位置，
与直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得

略