Question

已知公比为q的等比数列{a_n}，则数列{a_n+a_n+1}

1. A.
   一定是等比数列
2. B.
   可能是等比数列，也可能是等差数列
3. C.
   一定是等差数列
4. D.
   一定不是等比数列

Answer 1

B
分析：此题考查等差数列和等比数列的概念，运用等比数列的通项公式，求出数列{a_n+a_n+1}的通项公式，再根据等比数列的概念：从第二项起，后一项比前一项是同一个常数，得出比值，再根据比值判断数列的性质．
解答：设数列{a_n}的首项为a₁，由题意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（）
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
当q=-1时，数列{a_n+a_n+1}为a_n=0的一个常数列，是一个等差数列
当q≠-1时
==
当q≠±1时， 是一个不为1的常数，所以数列{a_n+a_n+1}是等比数列；
当q=1时，=1，所以数列{a_n+a_n+1}是一个常数列，它既是等差数列，又是等比数列
故选B
点评：本题是一道考查数列概念方面较好的题目，既可以训练学生对通项公式的掌握，又可以训练学生判断数列属性的能力，属于概念考查类题目