Question

（2013•闸北区二模）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系O-xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．
设F₁、F₂为空间中的两个定点，|F₁F₂|=2c＞0，我们将曲面Γ定义为满足|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞c）的动点P的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面Γ的方程；
（2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图．

Answer 1

分析：（1）以直线F₁F₂为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为x轴，以与xoy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．设P的坐标为（x，y，z），根据两点间的距离公式，以a、c为参数建立关于x、y、z的等式，再移项、平方，化简整理得二次方程为

x2

a2-c2

+

y2

a2

+

z2

a2-c2

=1，即为所求曲面Γ的方程；
（2）根据空间关于原点、坐标轴和坐标平面对称的公式，分别对（1）求出的方程加以验证，可得曲面Γ是关于原点对称、关于三条坐标轴对称，也关于三个坐标平面对称的图形．因此不难作出它的直观图，如图所示．

解答：解：（1）以两个定点F₁，F₂的中点为坐标原点O，以F₁，F₂所在的直线为y轴，以线段F₁F₂的垂直平分线为x轴，
以与xoy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
则F₁（0，c，0），F₂（0，-c，0），设P的坐标为（x，y，z），可得
|F₁F₂|=2c＞0，|

PF1

|+|

PF2

|=2a(a＞c)，
∴

x2+(y+c)2+z2

+

x2+(y-c)2+z2

=2a，
移项得

x2+(y+c)2+z2

=2a-

x2+(y-c)2+z2

两边平方，得∴a

x2+(y-c)2+z2

=a2-cy，
两边平方，整理得

x2

a2-c2

+

y2

a2

+

z2

a2-c2

=1
令

a2-c2

=b，得

x2

b2

+

y2

a2

+

z2

b2

=1．①
因此，可得曲面Γ的方程为

x2

b2

+

y2

a2

+

z2

b2

=1．
（2）对称性：
由于点（x，y，z）关于坐标原点O的对称点（-x，-y，-z）也满足方程①，
说明曲面Γ关于坐标原点O对称；                                                   
由于点（x，y，z）关于x轴的对称点（x，-y，-z）也满足方程①，
说明曲面Γ关于x轴对称；同理，曲面Γ关于y轴对称；关于z轴对称．
由于点（x，y，z）关于xOy平面的对称点（x，y，-z）也满足方程①，
说明曲面Γ关于xOy平面对称；同理，曲面Γ关于xOz平面对称；关于yOz平面对称．
由以上的讨论，可得曲面Γ的直观图如右图所示．

点评：本题给出空间满足到两个定点距离之和为定值的点，求该点的轨迹．着重考查了椭圆的定义、轨迹方程求法和曲线与方程的性质等知识，属于中档题．