Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．
（1）求a的值；
（2）记g（x）=bx²-1，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=4x³-12x²+2ax，因为f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，所以x=1是f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
即4×1³-12×1²+2a×1=0．
解得a=4，经检验满足题意，所以a=4．
（2）由f（x）=g（x）可得
x²（x²-4x+4-b）=0，
由题意知此方程有三个不相等的实数根，
此时x=0为方程的一实数根，则方程x²-4x+4-b=0应有两个不相等的非零实根，
所以△＞0，且4-b≠0，
即（-4）²-4（4-b）＞0且b≠4，
解得b＞0且b≠4，
所以所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．
分析：（1）根据函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知道x=1是f（x）的极值点，求导，令
f′（1）=0，可得a的值；（2）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，转化为一元二次方程根的问题，求得b的取值范围．
点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．