Question

16．定义在R上的函数f（x）同时满足：（i） f（1）=2；（ii）?x，y∈R，f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）； （iii） f（x）在区间[0，1]上是单调增函数．
（Ⅰ）求f（0）和f（-1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0，可得f（0）=0；令x=y=-1，可得f（-1）=-2或1，对f（-1）=1，分析得到矛盾舍去；
（Ⅱ）判断函数f（x）为奇函数，函数关于x=1对称，同时f（x）为周期函数，周期为4．求得f（0）=f（2）=0，即可得到所求零点；
（Ⅲ）运用赋值法求得f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=$\sqrt{2}$，求得在[-1，1]的解集，运用周期性即可得到解集．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=0，可得f（1）=f（1）-f（0）f（0），∴f（0）=0；
令x=y=-1代入f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y），
可得f（-1）=f（1）-f（-1）f（-1），
即f²（-1）+f（-1）-2=0，
则f（-1）=-2或f（-1）=1．
若f（-1）=1，令y=1，x=-1，
可得f（1）=f（-1）-f（1）f（-1）=f（-1）-2f（-1）=-f（-1）=-1，矛盾，
故f（-1）=2；
∴f（-1）=-f（1）=-2．
（Ⅱ）∵f（-x）=f（-1-x+1）=f（-1+x+1）-f（-1）f（-x）=f（x）+2f（-x），
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数；
令x=0，有f（1+y）=f（1-y）=-f（y-1），
即f（2+y）=-f（y），则f（4+y）=-f（y+2）=f（y），
且函数关于x=1对称，同时f（x）为周期函数，周期为4．
∴函数在[-1，1]上有一个零点0，此时函数f（x）的零点是4n（n∈N₊）；
函数在[1，3]上有一个零点2，此时函数f（x）的零点是4n+2（n∈N₊）；
综上函数的零点为2n．
（Ⅲ）∵f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，且f（x）是奇函数
∴f（x）在区间[-1，1]上是单调增函数，在[1，3]上是单调减函数，
令x=y=$\frac{1}{2}$，可得f（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+1）=f（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+1）-f（$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$），
即为f（2）=f（1）-f²（$\frac{1}{2}$）=0，即为f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$；
f（x）＞$\sqrt{2}$，当0＜x＜1时，即为f（x）＞f（$\frac{1}{2}$），解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
当1＜x＜3时，可得1＜x＜$\frac{3}{2}$．
则有-1＜x＜3时，f（x）＞$\sqrt{2}$的解为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
综上可得，f（x）＞$\sqrt{2}$的解集为（4n+$\frac{1}{2}$，4n+$\frac{3}{2}$），n为整数．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查函数值的求法，注意运用赋值法，考查函数的零点的求法，注意结合函数的周期性，考查不等式的解法，注意运用单调性和周期性，属于中档题．