Question

为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如图所示：规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品．
（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；
（2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）分别求出甲厂平均值和乙厂平均值，由此能比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小．
（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）甲厂平均值为

1

10

（9+18+15+16+19+13+23+20+25+21）=17.9．…（2分）
乙厂平均值为

1

10

（18+14+15+16+19+10+13+21+20+23）=16.9，…（4分）
所以甲厂平均值大于乙厂平均值．…（5分）
（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3．…（6分）
P（ξ=0）=

C 0 4 • C 3 6

C 3 10

=

1

6

，
P（ξ=1）=

C 1 4 • C 2 6

C 3 10

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 2 4 • C 1 6

C 3 10

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，…（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

故E（ξ）=0×

1

6

+1×

1

2

+2×

3

10

+3×

1

30

=1.2．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．