Question

（理）已知函数f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）证明：a=1时，对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即函数f（x）在定义域内有两个不等的实根，根据二次方程根的个数与△的关系可构造关于a的不等式组，解出实数a的取值范围；
（2）将a=1代入可得函数f（x）解析式，构造函数，分析函数g（x）在[1，+∞）上的单调性，进而根据单调性的定义可得结论；
（3）构造函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），利用导法分析函数的单调性，进而得到使不等式恒成立的最小的正整数N．
解答：解：（1）∵函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，
∴在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，…（2分）
设F（x）=2x²+2x+a，则，
解之得；             …（4分）
证明：（2）a=1时，f（x）=x²+ln（x+1），
令，…（6分）
则，
当x≥1时，g′（x）≥0，所以函数g（x）在[1，+∞）上是增函数．              …（8分）
由已知，不妨设1≤x₁＜x₂＜+∞，则g（x₁）＜g（x₂），
所以，即；                 …（10分）
（3）令函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），…（12分）
则，
当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在[0，+∞）上单调递增．            …（14分）
又h（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＞x²-x³恒成立．
取，则有恒成立，
故存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式恒成立．…（16分）
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用函数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度较大，构造合适的函数是解答的关键．