Question

已知f（x）=kx+b，且f（1）=-1，f（2）=-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（a-1）的值；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）由题意，可得f（1）=k+b=-1，f（2）=2k+b=-3，联立可得关于k、b的方程组，解可得k、b的值，即可得答案；
（2）由（1）的解析式，将x=a-1代入解析式中可得答案；
（3）分析易得，f（x）的定义域为R，设任意的x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，用作差法判断可得答案．

解答：解：（1）根据题意，有f（1）=k+b=-1，f（2）=2k+b=-3．
则

k+b=-1 2k+b=-3

，解可得

k=-2 b=1

，
则f（x）=-2x+1；
（2）由（1）可得，f（1）=-2x+1，
则f（a-1）=-2（a-1）+1=-2a+3；
（3）由一次函数的性质，可得f（x）为减函数，
证明如下：f（x）=-2x+1，f（x）的定义域为R，
设任意的x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁+1）-（-2x₂+1）=2（x₂-x₁），
又由x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
则f（x）为减函数．

点评：本题考查函数的解析式的求法以及函数单调性的判断方法，判断函数的单调性，一般用作差法．