分析 由an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2(n+2)}{n+1}$,故而可求出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$,$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$,$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{3}}{a2}$,$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$.将以上各式相乘可求得{an}的通项公式,分别求出a2016和a1+a2+…+a2016,得出比值即可.
解答 解:∵an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an,∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2(n+2)}{n+1}$,
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2(n+1)}{n}$,$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n}{n-1}$,$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2(n-1)}{n-2}$…$\frac{{a}_{3}}{a2}$=$\frac{2×4}{3}$,$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2×3}{2}$.
将以上各式相乘,得:$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2(n+1)}{n}$•$\frac{2n}{n-1}$•$\frac{2(n-1)}{n-2}$…$\frac{2×4}{3}$•$\frac{2×3}{2}$=2n-2(n+1).
∴an=a1•2n-2(n+1)=2n-1(n+1).∴a2016=2017•22015.
令a1+a2+…+a2016=S,则S=2•20+3•2+4•22+5•23+…+2017•22015,∴2S=2•2+3•22+4•23+5•24+…+2017•22016.
∴S-2S=2+2+22+23+…+22015-2017•22016=2+$\frac{2(1-{2}^{2015})}{1-2}$-2017•22016=-2016•22016.∴S=2016•22016.
∴$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{2017•{2}^{2015}}{2016•{2}^{2016}}$=$\frac{2017}{4032}$.
故答案为$\frac{2017}{4032}$.
点评 本题考查了数列递推公式的应用,错位相减法数列求和,属于中档题.
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A. | $\frac{7}{8}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{6}{7}$ |
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