Question

20．数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N⁺），则$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{2017}{4032}$．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+2）}{n+1}$，故而可求出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{3}}{a2}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．将以上各式相乘可求得{a_n}的通项公式，分别求出a₂₀₁₆和a₁+a₂+…+a₂₀₁₆，得出比值即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+2）}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2（n+1）}{n}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2（n-1）}{n-2}$…$\frac{{a}_{3}}{a2}$=$\frac{2×4}{3}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2×3}{2}$．
将以上各式相乘，得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2（n+1）}{n}$•$\frac{2n}{n-1}$•$\frac{2（n-1）}{n-2}$…$\frac{2×4}{3}$•$\frac{2×3}{2}$=2^n-2（n+1）．
∴a_n=a₁•2^n-2（n+1）=2^n-1（n+1）．∴a₂₀₁₆=2017•2²⁰¹⁵．
令a₁+a₂+…+a₂₀₁₆=S，则S=2•2⁰+3•2+4•2²+5•2³+…+2017•2²⁰¹⁵，∴2S=2•2+3•2²+4•2³+5•2⁴+…+2017•2²⁰¹⁶．
∴S-2S=2+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁵-2017•2²⁰¹⁶=2+$\frac{2（1-{2}^{2015}）}{1-2}$-2017•2²⁰¹⁶=-2016•2²⁰¹⁶．∴S=2016•2²⁰¹⁶．
∴$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{2017•{2}^{2015}}{2016•{2}^{2016}}$=$\frac{2017}{4032}$．
故答案为$\frac{2017}{4032}$．

点评 本题考查了数列递推公式的应用，错位相减法数列求和，属于中档题．