Question

已知函数f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞ln(n+1)，(n∈N*)；
（Ⅲ）对于函数h(x)=

1

2

x2与g(x)=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到x=1，然后分区间x＜1和x＞1，讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
（Ⅱ）由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，从而由e^x≥ex，当x＞0 时x-1≥lnx，进而可知，令x-1=

1

t

得

1

t

≥ln(1+

1

t

)=ln

1+t

t

，故可得证； 
（Ⅲ）设F(x)=ln(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x-e  令f'（x）=e^x-e=0 得x=1
当x＞1 时，f'（x）＞0，当x＜1 时，f'（x）＜0．
所以函数f（x） 在（-∞，1）上递增所以f（x） 的最小值为f（1）=0 （3分）
（Ⅱ） 证明：由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，
所以f（x）≥f（1），即e^x≥ex 当x＞0 时由e^x≥ex 得x≥1+lnx，x-1≥lnx，
当且仅当x=1 时等号成立．
令x-1=

1

t

得

1

t

≥ln(1+

1

t

)=ln

1+t

t

，1＞ln2，

1

2

＞ln

3

2

，

1

3

＞ln

4

3

…

1

n

＞ln

n+1

n

将上式相加得 1+

1

2

+

1

3

+…

1

n-1

+

1

n

＞ln(2×

3

2

×

4

3

×…x

n

n-1

×

n+1

n

)=ln(n+1) …8分
（Ⅲ） 设F(x)=ln(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx 则F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

所以当0＜x＜

e

时F'（x）＜0，
当x＞

e

时，F'（x）＞0
所以当x=

e

时F（x） 取得最小值0．
则h（x） 与g（x） 的图象在x=

e

处有公共点 (

e

，

1

2

e) 由h(x)≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R 恒成立，
则x2-2kx-e+2k

e

≥0 在x∈R 恒成立
所以△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

3

)2≤0
因此k=

3

下面证明g(x)≤

e

x-

1

2

e(x＞0) 成立设
G(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，G′(x)=

e

x

-

e

=

e- e x

x

所以当0＜x0，
当x＞

e

时，G'（x）＜0
因此x=

e

，b=-

1

2

e，
故所求公共切线为2

e

x-2y-e=0 （14分）

点评：本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．