Question

5．一个口袋中装有大小形状完全相同的n+3个乒乓球，其中有1个乒乓球上标有数字0，有2个乒乓球上标有数字2，其余n个乒乓球上均标有数字3（n∈N^*），若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是$\frac{8}{15}$．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设ξ表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到$\frac{{C_{n+1}^1C_2^1}}{{C_{n+3}^2}}=\frac{8}{15}$，解方程求出n的值；
（2）由题设知ξ的所有可能取值为2，3，4，6，9，分别求出对应的概率值，
由此求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题设$\frac{{C_{n+1}^1C_2^1}}{{C_{n+3}^2}}=\frac{8}{15}$，
即2n²-5n-3=0，
解得n=3；…（5分）
（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为2，3，4，5，6；…（6分）
且$P（ξ=2）=\frac{C_1^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{2}{15}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_1^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=4）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$，
$P（ξ=5）=\frac{C_2^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{2}{5}$，
$P（ξ=6）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$；…（10分）
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（11分）
数学期望为$E（ξ）=2•\frac{2}{15}+3•\frac{1}{5}+4•\frac{1}{15}+5•\frac{2}{5}+6•\frac{1}{5}=\frac{13}{3}$…（12分）

点评 本题考查了概率的求法以及离散型随机变量的分布列和数学期望的问题，是基础题．