Question

13．已知a₁=1，a_n=$\frac{n+1}{n}$•a_n+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{n+1}{n}$•a_n+1可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n=$\frac{n+1}{n}$•a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，
∴a_n=$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．