Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0．
（1）求过点（

3

2

，1）且被圆截得弦长为

3

的直线方程．
（2）直线 l：y=kx，l与圆C交与A、B两点，点M（0，b）且MA⊥MB当b=1时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，即可得到圆心与已知点连线与弦所在的直线垂直，根据圆心与已知点的纵坐标相同写出连线的方程，显然根据已知点的横坐标即可写出所求直线的方程；
（2）把直线l的方程与圆C的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出k的范围，根据韦达定理表示出两个之和与两根之积，由M的坐标及A，B的坐标表示出

MA

与

MB

，由MA⊥MB，得到

MA

•

MB

=0，利用平面向量的数量积运算化简后，将b=1代入即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：（1）把圆的方程化为标准方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，
所以圆心坐标为（1，1），r=1，
根据题意可知：圆心（1，1）与点（

3

2

，1）的连线与所求直线垂直，
由圆心（1，1）与点（

3

2

，1）的连线的方程为y=1，
得到所求直线的方程为：x=

3

2

；
（2）联立得

x2+y2-2x-2y+1=0 y=kx

，
整理得（k²+1）x²-（2k+2）x+1=0，
由△＞0得k＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（0，b），
由韦达定理得：x1+x2=

2k+2

k2+1

，x1x2=

1

k2+1

，
由MA⊥MB得：

MA

•

MB

=0，即（k²+1）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
把b=1代入得：1-

k(2k+2)

k2+1

+1=0，即2k=2，
解得：k=1．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，韦达定理及平面向量的数量积运算．要求学生理解两向量垂直时其数量积为0，同时注意利用韦达定理时根的判别式要大于等于0，即方程要有实数根．熟练掌握定理及性质是解本题的关键．