Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为边长为4的正方形，M是BC的中点，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF= ．
（1）求证：ME⊥平面ADE；
（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AD的中点N，连结NM，NE，

则AD⊥NM，AD⊥NE，

∵NM∩NE=N，∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，

过E点，作EO⊥NM于O，

根据题意得NO=1，OM=3，NE=2，∴OE= ，EM=2 ，

∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，

∴ME⊥面ADE．

（2）解：如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，

根据题意得：

A（2，﹣1，0），B（2，3，0），D（﹣2，﹣1，0），E（0，0， ），M（0，3，0），

设平面BAE的法向量 =（x，y，z），

∵ =（0，4，0）， =（﹣2，1， ），

∴ ，取z=2，得 =（ ，0，2），

由（1）知 =（0，﹣3， ）为平面ADE的法向量，

设二面角B﹣AE﹣D的平面角为θ，

则cosθ= = ，

∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）取AD的中点N，连结NM，NE，推导出AD⊥ME，过E点，作EO⊥NM于O，推导出NE⊥ME，由此能证明ME⊥面ADE．（2）建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．