Question

设函数f（x）=sin²x+sinxcosx+．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2，c=4，A为锐角，且f（A）是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A、b．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简函数解析式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由x为锐角，得出这个角的范围，利用正弦函数的图象求出f（x）的最大值，以及此时x的度数，即为A的度数，确定出cosA的值，再由a，c的长，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
解答：解：（1）f（x）=sin²x+sinxcosx+
=+sin2x+
=sin（2x-）+2，
∵ω=2，
∴T==π；
（2）由（1）知f（A）=sin（2A-）+2，
当x∈[0，]时，-≤2x-≤，
∴当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值3，
∴A=时，f（A）取得最大值3，又a=2，c=4，
∴由余弦定理得：12=b²+16-2×4b×，
解得：b=2．
点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，周期公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．