Question

13．在数列{a_n}中，若a₁=$\frac{1}{5}$，当n≥2时，有a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，则a_n=4n+1．

Answer 1

分析 通过对a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0变形可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4，进而计算即可．

解答 解：∵a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，
∴$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}-4{a}_{n-1}{a}_{n}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=0，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4，
又∵a₁=$\frac{1}{5}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=5，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=5+4（n-1）=4n+1，
故答案为：4n+1．

点评 本题考查求数列的通项公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．