Question

13．如图四边形PABC中，∠PAC=∠ABC=90°，$PA=AB=2\sqrt{3}，AC=4$，现把△PAC沿AC折起，使PA与平面ABC成60°，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），

（1）求证：OB∥平面PAC；
（2）求二面角P-BC-A大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）连AO，推导出PO⊥CA，CA⊥AO，OB⊥OA，从而OB∥AC，由此能证明OB∥平面PAC．
（2）过O作BC的垂线交CB延长线于G点，连PG，则∠PGO是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的正切值．

解答 （本题满分15分）
证明：（1）连AO，因为PO⊥平面ABC，得PO⊥CA．
又因为CA⊥PA，得CA⊥平面PAO，CA⊥AO（3分）
因为∠PAO是PA与平面ABC的角，∠PAO=60°．
因为$PA=2\sqrt{3}$，得$OA=\sqrt{3}$．
在△OAB中，∠OAB=90°-30°=60°，故有OB⊥OA，…（6分）
从而有OB∥AC，得OB∥平面PAC． …（8分）
解：（2）过O作BC的垂线交CB延长线于G点，连PG，
则∠PGO是二面角P-BC-A的平面角．
∵四边形PABC中，∠PAC=∠ABC=90°，$PA=AB=2\sqrt{3}，AC=4$，
∴在Rt△PGO中$PO=3，OG=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$tan∠PGO=\frac{PO}{OG}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴二面角P-BC-A的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（15分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．