Question

11．（1）记函数φ（x）=ax²-2x+1+ln（x+1）的图象为C，l为曲线C在点P（0，1）的切线，若存在a≥$\frac{1}{2}$，使直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求满足条件的所有a的值；
（2）判断xsinx=1（x∈（0，5））实根的个数；
（3）完成填空

	用方程表述	用函数零点表述
若函数y=f（x）和y=g（x）的图象在（a，b）内有交点

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与$\frac{1}{2}$的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．
（2）由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$（x∈（0，5）），作出计算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$，在（0，5）上的图象，利用数形结合进行求解即可．
（3）根据函数与方程，与函数零点的关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），
∴f′（x）=$\frac{{2a{x^2}+（2a-2）x-1}}{x+1}$，
∴f′（0）=-1，切点P（0，1），
∴切线l的斜率为-1，即切线l的方程：y=-x+1；
切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1，
即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+$\frac{1}{x+1}=\frac{{2a{x^2}+（2a-1）x}}{x+1}=\frac{{2ax[{x-（\frac{1}{2a}-1）}]}}{x+1}$
①若a=$\frac{1}{2}$，则h'（x）=$\frac{x^2}{x+1}$≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜$\frac{1}{2}$，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1＞0

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{1}{2a}$-1）	$\frac{1}{2a}$-1	（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	递增	极大值0	递减	极小值	递增

∴$h（\frac{1}{2a}-1）$＜h（0）=0，而$h（\frac{1}{a}）＞0$
∴方程h（x）=0在$（\frac{1}{2a}-1，+∞）$
上还有一解，则h（x）=0解不唯一；
③若a＞$\frac{1}{2}$，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在$（-1，\frac{1}{2a}-1）$上还有一解，
则h（x）=0解不唯一
综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=$\frac{1}{2}$．
（2）由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$（x∈（0，5）），
作出计算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$，在（0，5）上的图象如图：
由图象知两个函数有两个交点，即xsinx=1（x∈（0，5））实根的个数有两个．
（3）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象在（a，b）内有交点，
则等价为f（x）=g（x）在（a，b）内有解，
即函数y=f（x）-g（x）在（a，b）内存在零点．

	用方程表述	用函数零点表述
若函数y=f（x）和y=g（x）的图象在（a，b）内有交点	f（x）=g（x）在（a，b）内有解	函数y=f（x）-g（x）在（a，b）内存在零点

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化与划归的思想，以及计算能力，综合性较强，有一定的难度．