Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB₁＝3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

（1）AF＝1或2时，CF⊥平面B₁DF
（2）锐二面角的余弦值

（1）因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

 
BB₁⊥面ABC，∠ABC＝．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，
从而B(0，0，0)，A，C，B₁(0，0，3)，A₁，C₁，D，E．
所以，
设AF＝x，则F(，0，x)，
.
，所以       
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F.
由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B₁DF．……………… 5分
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）.    
设平面B₁CF的法向量为，则由得
令z=1得，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
………………… 10分