精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
20.某同学参加学校自主招生3门课程的考试,假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为$\frac{2}{5}$,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p<q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为
ξ0123
p$\frac{6}{125}$xy$\frac{24}{125}$
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p,q(p<q)的值;
(2)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ.

分析 (1)由对立事件概率计算公式能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率,求出P(ξ=0)=$\frac{6}{125}$,P(ξ=3)=$\frac{24}{125}$,p<q,由此列出方程组能求出结果.
(2)由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ.

解答 解:(1)由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率:
P=1-P(ξ=0)=1-$\frac{6}{125}$=$\frac{119}{125}$.
∵P(ξ=0)=$\frac{6}{125}$,P(ξ=3)=$\frac{24}{125}$,p<q,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}(1-p)(1-q)=\frac{6}{125}}\\{\frac{2}{5}pq=\frac{24}{125}}\\{p<q}\end{array}\right.$,
解得p=$\frac{3}{5}$,q=$\frac{4}{5}$.
(2)由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=$\frac{6}{125}$,P(ξ=3)=$\frac{24}{125}$,
P(ξ=1)=$\frac{2}{5}(1-\frac{3}{5})(1-\frac{4}{5})$+(1-$\frac{2}{5}$)×$\frac{3}{5}×(1-\frac{4}{5})$+(1-$\frac{2}{5}$)×(1-$\frac{3}{5}$)×$\frac{4}{5}$=$\frac{37}{125}$,
P(ξ=2)=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×(1-\frac{4}{5})$+$\frac{2}{5}×(1-\frac{3}{5})×\frac{4}{5}$+(1-$\frac{2}{5}$)×$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{58}{125}$,
∴Eξ=0×$\frac{6}{125}+1×\frac{37}{125}+2×\frac{58}{125}+3×\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$.

点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类讨论思想、转化化归思想、整体思想,是中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点F的坐标为(3,0),直线L:x+2y-2=0交椭圆于A.B两点,线段AB的中点为$M(1,\frac{1}{2})$;
(1)求椭圆的方程;
(2)动点N满足NA⊥NB,求动点N的轨迹方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.四个不同的小球,全部放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中.(结果写成数字)
(1)1号盒子中有球的放法有多少种?
(2)恰有两个空盒的放法有多少种?
(3)恰有三个空盒的放法有多少种?
(4)甲球所放盒的编号不小于乙球所放盒的编号的放法有多少种?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.某大学的男生的体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是(  )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg
C.过该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.回归直线过样本的中心$(\overline x,\overline y)$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知数列{an}中,${a_1}=1,{a_{n+1}}=2{a_n}+n-1({n∈{N^*}})$,则其前n项和Sn=${2^{n+1}}-2-\frac{{n({n+1})}}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=anlog2an,求{bn}的前n项和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知集合$A=\left\{{y|y=\sqrt{3-2x},x∈[{-\frac{13}{2},\frac{3}{2}}]}\right\}$,B={x|1-m≤x≤m+1}.
(1)若m=2,求A∩B;
(2)若B⊆A,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

9.(1+x-30x2)(2x-1)5的展开式中,含x3项的系数为-260(用数字填写答案)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知平行四边形ABCD中,$|\overrightarrow{AB}|=3$,$|\overrightarrow{AD}|=2$,对角线AC交BD于点O,AB上一点E满足$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BD}=0$,F为AC上任意一点.
(Ⅰ)求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$值;
(Ⅱ)若$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{10}$,求$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}$的最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案