Question

已知方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=   

Answer 1

【答案】分析：把方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0化为x²-2x+m=0，或x²-2x+n=0，设设是第一个方程的根，代入方程即可求得m，则方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s，t，（s≤t）根据韦达定理可知∴s+t=2=+根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为，s，t，，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，则s和t可求，进而根据韦达定理求得n，最后代入|m-n|即可．
解答：解：方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0可化为
x²-2x+m=0①，或x²-2x+n=0②，
设是方程①的根，
则将代入方程①，可解得m=，
∴方程①的另一个根为．
设方程②的另一个根为s，t，（s≤t）
则由根与系数的关系知，s+t=2，st=n，
又方程①的两根之和也是2，
∴s+t=+
由等差数列中的项的性质可知，
此等差数列为，s，t，，
公差为[-]÷3=，
∴s=，t=，
∴n=st=
∴，|m-n|=|-|=．
故答案为：
点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生创造性思维和解决问题的能力．