Question

16．数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₁≠a₂，S_n=pna_n．
  （1）求p的值；
  （2）确定数列{a_n}是否为等差数列或等比数列．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知若p=1时，a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1，则a₁=0．n=2时，（2p-1）a₂=0，则p=$\frac{1}{2}$；
（2）由题设条件知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$．则$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-2}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$．由此可知{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=pa₁，若p=1时，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，
∴a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1．则a₁=0．
当n=2时，a₁+a₂=2pa₂，∴（2p-1）a₂=0．
∵a₁≠a₂，故p=$\frac{1}{2}$；
（2）由已知S_n=$\frac{1}{2}$na_n，a₁=0．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$na_n-$\frac{1}{2}$（n-1）a_n-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$．
则$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-2}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1．则a_n=（n-1）a₂，
∴a_n-a_n-1=a₂．
故{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．

点评 本题考查数列递推式，训练了由S_n求a_n的问题，体现了运动变化的思想方法，属中档题．