Question

在数列{a_n}中，且
（1）求a₃、a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求证：对?n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n．

Answer 1

（1）解：∵，
∴a₃=，a₄=，
猜想，利用数学归纳法证明如下：
①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；
②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即
则n=k+1时，===
∴n=k+1时，结论成立
综上，；
（2）证明：=（）
∴b₁+b₂+…+b_n=[（）+（-）+…+（）]=（）
要证b₁+b₂+…b_n，只需证明（）
即证
即证3n+2-2＜3n-1
即证，显然成立
∴b₁+b₂+…+b_n．
分析：（1）利用数列递推式，计算a₃、a₄，猜想通项，利用数学归纳法证明数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，再用分析法进行证明．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．