Question

函数y=log_ax当x＞2 时恒有|y|＞1，则a的取值范围是（　　）

• A．

  1

  2

  ≤a≤2且a≠1
• B．0＜a≤

  1

  2

  或1＜a≤2
• C．1＜a≤2
• D．a≥1或0＜a≤

  1

  2

Answer 1

分析：根据对数函数的单调性与底数的关系，进而对底数的范围时行分类讨论，分两类解出使不等式恒成立的a的取值范围，再求它们的并集．

解答：解：因为函数y=log_ax在x∈（2，+∞）上总有|y|＞1，
所以a分两种情况讨论，即0＜a＜1与a＞1．
①当0＜a＜1时，函数y=log_ax在x∈（2，+∞）上单调递减，并且有|y|＞1恒成立，
即总有y＜-1，则只需函数的最大值小于-1即可，
因为区间（2，+∞）是开区间，
所以有loga2≤-1∴a≥

1

2

，
解得：

1

2

≤a＜1．
②当a＞1时，函数y=log_ax在x∈（2，+∞）上单调递增，并且有|y|＞1恒成立，
即总有y＞1，则只需函数的最小值大于1即可，
因为区间（2，+∞）是开区间，
所以有log_a2≥1，解得：1＜a≤2．
由①②可得

1

2

≤a＜1或1＜a≤2
故选A．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握绝对值不等式与指、对不等式解答方法，即熟练掌握指数函数与对数函数的有关性质，一般解指数、对数不等式时当底数是参数时一般需要对参数的范围时进行分类讨论，此题考查了恒成立问题（即求最值问题）与分类讨论的数学思想，属于中档题．