Question

已知双曲线C的两个焦点为F₁，F₂，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F₂，且与线段F₁F₂的夹角为α，，直线l与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．

Answer 1

解：双曲线方程为=1，Q（x，y），F₂（c，0），
过Q做x轴垂线，垂足为A，|PQ|：|QF₂|=2：1=|OA|：|AF|，|OA|+|AF|=c，
所以：|OA|=c=x，|AF₂|=，
tanα==
∴y=，即：Q（C，）
代入方程，-=1，
∵c²=a²+b²代入，化简：
--41=0，
令=k，
16k²-41k-21=0，
（k-3）（16k+7）=0，
k=3或-（负舍）
即：=3，又ab=，解方程组，得
a=1，b=，
故双曲线方程为：x²-=1．
分析：设出双曲线的标准方程，和Q的坐标，过Q做x轴垂线，垂足为A，|根据，|PQ|：|QF₂|=|OA|：|AF|和|OA|+|AF|=c，推断出：|OA|=c=x，|AF₂|=，进而根据tanα求得y的表达式，则Q点坐标可知，代入椭圆方程同时利用c²=a²+b²转化成关于的方程，求得的值，进而根据ab=联立求得a和b，则双曲线的方程可得．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是尽可能多的从条件中挖掘有效信息，综合运用所学知识．