Question

已知圆O的圆心为原点O，且与直线x+y+4

2

=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据圆心到直线的距离等于半径即可求出圆的方程；
（2）根据条件构造以OP为直径的圆，则AB为公共弦，即可求直线AB的方程．

解答： 解：（1）∵圆与直线x+y+4

2

=0相切，
∴圆心到直线的距离d=

|4 2 |

2

=4，
即圆的半径R=4，
则圆的方程为x²+y²=16．
设过P 点的圆的切线方程为y+1=k（x-2）．即kx-y-2k-1=0．
（2）在Rt△PAO中，∵|PO|=

82+62

=10，
∴O，P的中点坐标为M（4，3），
则M为圆心，|PO|为直径的圆MM的方程为（x-4）²+（y-3）²=25，
即x²+y²-8x-6y=0
AB为圆O与圆M的公共弦，
由x²+y²-8x-6y=0
x²+y²-8x-6y=0与x²+y²=16相减得：
8x+6y-16=0，
即4x+3y-8=0．
∴直线AB的方程为4x+3y-8=0

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．