Question

18．已知集合P={x|x²-3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}
（1）若b=4是否存在集合M使得P?M⊆Q？若存在，求出所有符合题意的集合M，若不存在，请说明理由
（2）P能否成为Q的一个子集？若能，求出b的值或取值范围，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于集合Q={-1，1，-4}，当b=4时，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集，从而得到M．
（2）当P=∅，△=9-4b＜0时，有b＞$\frac{9}{4}$．当P≠∅，方程x²-3x+b=0有实数根，且实数根是-1，1，-4中的数，把x=-1，1，-4代入检验，由此得到实数b的取值范围

解答 解：（1）∵集合Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，
当b=4时，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集．
共有 2³-1=7 个，
分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．
（2）∵P⊆Q，对于方程x²-3x+b=0，
当P=∅，△=9-4b＜0时，有b＞$\frac{9}{4}$．
△=9-4b≥0时，P≠∅，方程x²-3x+b=0有实数根，且实数根是-1，1，-4中的数．
若-1是方程x²-3x+b=0的实数根，则有b=-4，此时P={-1，4}，不满足P⊆Q，故舍去．
若1是方程x²-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={1，2}，不满足P⊆Q，故舍去．
若-4是方程x²-3x+b=0的实数根，则有b=-28，此时P={-4，7}，不满足P⊆Q，故舍去．
综上可得，实数b的取值范围为（$\frac{9}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想．注意检验P⊆Q，这是解题的易错点，属于中档题．