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1.已知x=1是函数f(x)=xa+b的一个零点.
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)+ln(1+e-2x),且g(x)是偶函数,求实数a的值.

分析 (1)由函数的零点的定义,可得f(1)=0,解得b=-1,求出f(x)的导数,可得切线的斜率,求得a=2,进而得到f(x)的解析式;
(2)求出g(x)=xa-1+ln(1+e-2x),由g(x)为偶函数,可得g(-x)=g(x),化简整理,结合恒成立思想,可得a=1.

解答 解:(1)x=1是函数f(x)=xa+b的一个零点,
可得f(1)=0,即1+b=0,解得b=-1.
f(x)的导数为f′(x)=axa-1
可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为a=2,
则f(x)=x2-1;
(2)由(1)可得,g(x)=f(x)+ln(1+e-2x
=xa-1+ln(1+e-2x),
由g(x)为偶函数,可得:
g(-x)=g(x),
即(-x)a-1+ln(1+e2x)=xa-1+ln(1+e-2x),
即有(-x)a-xa+ln(1+e2x)-ln(1+e-2x)=0,
即为(-x)a-xa+ln$\frac{1+{e}^{2x}}{1+{e}^{-2x}}$=(-x)a-xa+lne2x=0,
即有(-x)a-xa+2x=0,
由于上式对于x∈R恒成立,
可得a=1.
则实数a的值为1.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率,同时考查函数的零点问题及偶函数的定义的运用,考查运算能力,属于中档题.

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