Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：
①函数f（x）是以T=2为周期的函数；
②函数f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
④函数f（x）的最大值为f（2）；
⑤f（2013）=0．
其中正确的序号为

②③⑤

．

Answer 1

分析：①利用周期函数的定义判断．②利用点对称的性质判断．③利用轴对称去判断．④利用函数的周期性和对称性判断．⑤利用周期性和对称性将f（2013）进行转换求值．

解答：解：①由f（x+2）+f（x）=0，得f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=f（x），所以函数的周期是4，所以①错误．
②因为函数f（x+1）为奇函数，所以函数f（x+1）关于（0，0）对称，将函数f（x+1）向右平移1个单位得到f（x），所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，所以②正确．
③因为函数f（x+1）为奇函数，所以f（-x+1）=-f（x+1），
又f（x+2）=-f（x），所以f（x+3）=-f（x+1），即f（x+3）=f（-x+1），所以函数f（x）有对称轴x=2，所以③正确
④因为f（2）=-f（0），因为函数的单调性没有给出，所以无法确定函数的最大值，即④错误．
⑤由于f（1）=0，所以f（2013）=f（502×4+1）=f（1）=0，故⑤正确
故答案为：②③⑤．

点评：此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期，还考查了函数的对称及与图象的平移变换．综合性较强．