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定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题:
①函数f(x)是以T=2为周期的函数;
②函数f(x)的图象关于点(1,0)对称;
③函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
④函数f(x)的最大值为f(2);
⑤f(2013)=0.
其中正确的序号为
②③⑤
②③⑤
分析:①利用周期函数的定义判断.②利用点对称的性质判断.③利用轴对称去判断.④利用函数的周期性和对称性判断.⑤利用周期性和对称性将f(2013)进行转换求值.
解答:解:①由f(x+2)+f(x)=0,得f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=f(x),所以函数的周期是4,所以①错误.
②因为函数f(x+1)为奇函数,所以函数f(x+1)关于(0,0)对称,将函数f(x+1)向右平移1个单位得到f(x),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以②正确.
③因为函数f(x+1)为奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),
又f(x+2)=-f(x),所以f(x+3)=-f(x+1),即f(x+3)=f(-x+1),所以函数f(x)有对称轴x=2,所以③正确
④因为f(2)=-f(0),因为函数的单调性没有给出,所以无法确定函数的最大值,即④错误.
⑤由于f(1)=0,所以f(2013)=f(502×4+1)=f(1)=0,故⑤正确
故答案为:②③⑤.
点评:此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期,还考查了函数的对称及与图象的平移变换.综合性较强.
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2
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3
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