Question

甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是

1

3

，

1

4

．现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．
（Ⅰ）求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若射击击中目标一次得1分，否则得0分（含未射击）．用ξ表示乙的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）3次射击的人依次是甲、甲、乙，它所包含的事件是甲第一次击中，接着射击第二次，但是第二次没有击中，根据每人每次射击击中目标与否均互不影响．得到本题是一个相互独立事件同时发生的概率．
（Ⅱ）甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击，可由题意知ξ的可能取值为0，1，2，结合变量对应的事件，写出三种情况的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）3次射击的人依次是甲、甲、乙，
它所包含的事件是甲第一次击中，接着射击第二次，但是第二次没有击中，
记“3次射击的人依次是甲、甲、乙”为事件A．
每人每次射击击中目标与否均互不影响．
由题意得事件A的概率P(A)=

1

3

×

2

3

=

2

9

；

（Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

×

3

4

+

2

3

×

3

4

=

7

9

；
P(ξ=1)=

1

3

×

2

3

×

1

4

+

2

3

×

1

4

×

3

4

=

13

72

；
P(ξ=2)=

2

3

×

1

4

×

1

4

=

1

24

．
∴ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望Eξ=0×

7

9

+1×

13

72

+2×

1

24

=

19

72

．

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．