Question

（2012•甘肃一模）设椭圆M：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)的右焦点为F₁，直线l：x=

a2

a2-2

与x轴交于点A，若

OF1

+2

AF1

=0（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出点A，F₁的坐标，利用

OF1

+2

AF1

=0，即可求得椭圆的方程；
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，则

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1，从而求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值；
方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），根据E，F的中点坐标为（0，2），可得

x2=-x1 y2=4-y1.

 
所以

PE

•

PF

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=

x

2 0

+

y

2 0

-4y0-(

x

2 1

+

y

2 1

-4y1)．根据点E在圆N上，点P在椭圆M上，可得

PE

•

PF

=-2

y

2 0

-4y0+9=-2(y0+1)2+11，利用y0∈[-

2

 ， 

2

]，可求

PE

•

PF

的最大值；
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，由

y=kx+2 x2+(y-2)2=1

，解得x=±

1

k2+1

，再分别求得

PE

、

PF

，利用y0∈[-

2

 ， 

2

]，可求

PE

•

PF

的最大值；②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，同理可求

PE

•

PF

的最大值．

解答：解：（1）由题设知，A(

a2

a2-2

，0)，F1(

a2-2

，0)，…（1分）
由

OF1

+2

AF1

=0，得

a2-2

=2(

a2

a2-2

-

a2-2

)．…（3分）
解得a²=6．
所以椭圆M的方程为M：

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，
则

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

) …（6分）
=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)…（7分）
=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1．…（8分）
从而求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值．…（9分）
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x₀，y₀），…（10分）
所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．…（11分）
因为点N（0，2），所以

NP

2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12．…（12分）
因为y0∈[-

2

，

2

]，所以当y₀=-1时，

NP

2取得最大值12，…（13分）
所以

PE

•

PF

的最大值为11，…（14分）

方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
因为E，F的中点坐标为（0，2），所以

x2=-x1 y2=4-y1.

 …（6分）
所以

PE

•

PF

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)…（7分）=（x₁-x₀）（-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（4-y₁-y₀）=

x

2 0

-

x

2 1

+

y

2 0

-

y

2 1

+4y1-4y0=

x

2 0

+

y

2 0

-4y0-(

x

2 1

+

y

2 1

-4y1)．…（9分）
因为点E在圆N上，所以

x

2 1

+(y1-2)2=1，即

x

2 1

+

y

2 1

-4y1=-3．…（10分）
因为点P在椭圆M上，所以

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，即

x

2 0

=6-3

y

2 0

．…（11分）
所以

PE

•

PF

=-2

y

2 0

-4y0+9=-2(y0+1)2+11．…（12分）
因为y0∈[-

2

 ， 

2

]，所以当y₀=-1时，(

PE

•

PF

)max=11．…（14分）
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，…（6分）
由

y=kx+2 x2+(y-2)2=1

，解得x=±

1

k2+1

．…（7分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x₀，y₀），
所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．…（8分）
所以

PE

=(

1

k2+1

-x0，

k