Question

在△ABC中，已知y=2+cosCcos（A-B）-cos²C．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交换A，B，C的位置，y的值是否会发生变化？试证明你的结论；
（3）求y的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）若△ABC是正三角形，把A=B=C=60°代入函数中可求
（2）利用和差角及倍角公式对函数化简y=2+cosCcos（A-B）-cos²C=2-cos（A+B）cos（A-B）-cos²C=sin²A+sin²B+sin²C，从而可证
（3）将y看作是关于cosC的二次函数．y=2+cosCcos（A-B）-cos²C=-(cosC-

1

2

cos(A-B))2+

1

4

cos2(A-B)+2，利用二次函数的性质可求
也可有如下简单解法：y=2+cosCcos（A-B）-cos²C≤2+|cosC|-|cosC|²=

9

4

-(|cosC|-

1

2

)2≤

9

4

．

解答：解：（1）若△ABC是正三角形，则y=2+cos60°cos0°-cos²60°=

9

4

（2）∵y=2+cosCcos（A-B）-cos²C=2-cos（A+B）cos（A-B）-cos²C
=2-

1

2

(cos2A+cos2B)-cos2C
=2-

1

2

(2cos2A-1+2cos2B-1)-cos2C
=3-cos²A-cos²B-cos²C=sin²A+sin²B+sin²C
∴任意交换A，B，C的位置，y的值不会发生变化．
（3）将y看作是关于cosC的二次函数．y=2+cosCcos（A-B）-cos²C=-(cosC-

1

2

cos(A-B))2+

1

4

cos2(A-B)+2．
所以，当cosC=

1

2

cos(A-B)，且cos²（A-B）取到最大值1时，也即A=B=C=

π

3

时，y取得最大值

9

4

．
也可有如下简单解法：y=2+cosCcos（A-B）-cos²C≤2+|cosC|-|cosC|²=

9

4

-(|cosC|-

1

2

)2≤

9

4

．

点评：本题以三角函数的化简为考查重点，主要考查了二倍角公式，同角平方关系，和差角公式等公式的综合应用，而二次函数与三角函数综合应用求函数最值是本题的难点