Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2a+1（a是常数，且a≠-1），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2），数列{b_n}的首项b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2）．
（1）证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
（3）当a＞0时，求数列{a_n}的最小项．

Answer 1

分析：（1）利用题设递推式可表示出n+1时的关系式，整理求得b_n+1=2b_n，最后验证b₁不符合等比数列的条件，最后综合可推断出{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）根据等比数列的求和公式可求得其前n项的和，进而可求得

Sn

Sn-1

利用解果为常数即可求得a．
（3）根据（1）可推断出b_n的通项公式，进而根据题意求得a_n的表达式，对a分类讨论，求得答案．

解答：解：（1）∵b_n=a_n+n²
∴b_n+1=a_n+1+（n+1）²=2a_n+（n+1）²-4（n+1）+2+（n+1）²=2a_n+2n²=2b_n（n≥2）
由a₁=2a+1得a₂=4a，b₂=a₂+4=4a+4，
∵a≠-1，∴b₂≠0，
即{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列．
（2）Sn=a+

(4a+4)(2n-1-1)

2-1

=-3a-4+(2a+2)2n
当n≥2时，

Sn

Sn-1

=

(2a+2)2n-3a-4

(2a+2)2n-1-3a-4

=2+

3a+4

(a+1)2n-1-3a-4

∵{S_n}是等比数列，
∴

Sn

Sn-1

（n≥2）是常数，
∴3a+4=0，即a=-

4

3

．
（3）由（1）知当n≥2时，b_n=（4a+4）2^n-2=（a+1）2ⁿ，
所以an=

2a+1  ，(n=1) (a+1)2n-n2，(n≥2)

，
所以数列{a_n}：2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…
显然最小项是前三项中的一项．
当a∈(0，

1

4

)时，最小项为8a-1；
当a=

1

4

时，最小项为4a或8a-1；
当a∈(

1

4

，

1

2

)时，最小项为4a；
当a=

1

2

时，最小项为4a或2a+1；
当a∈(

1

2

，+∞)时，最小项为2a+1．

点评：本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质．考查了基础知识的综合运用．