Question

13、奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（2+x）+f（2-x）=0，且f（1）=9，则f（2010）+f（2011）+f（2012）的值为

-9

．

Answer 1

分析：将已知等式移项，利用奇函数的定义得到函数的周期；通过给已知等式的x赋值0求出f（2）的值；利用奇函数的定义得到f（0）得到值；利用周期性求出f（2010）+f（2011）+f（2012）的值．

解答：解：∵f（2+x）+f（2-x）=0
∴f（2+x）=-f（2-x）
∵f（x）为奇函数
∴f（2+x）=f（x-2）；f（0）=0
∴f（x）是以T=4为周期的函数
∵2010=4×502+2；2011=4×503-1；2012=4×503
∵（2+x）+f（2-x）=0
令x=0得f（2）=0
∴f（2010）+f（2011）+f（2012）=f（2）+f（-1）+f（0）=-9
故答案为：-9

点评：本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期、考查通过赋值法求特定的函数值、考查利用周期性求函数的值．