Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=与x=1时都取得极值.
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对,不等式f(x)<c²恒成立,求c的取值范围.

Answer 1

（1）递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）；
（2）c<－1或c>2.

本试题主要考查了导数在函数中的运用。
解：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（－¥，－）	－	（－，1）	1	（1，＋¥）
f¢（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）	­	极大值	¯	极小值	­

所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c，解得c<－1或c>2