Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数f（x）的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为f（x）的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由。

Answer 1

解：（1）的图象关于原点对称，
∴恒成立，
即，∴b=d=0，
又得图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0即，
∴，且，
而，∴，
∴，解得：，
故所求函数的解析式为。
（2）解。得x=0或，
又，
令=0，得x=±1，
且当或时，；
当x∈（-1，1）时，<0，
∴在和上递增，在[-1，1]上递减，
∴在上的极大值和极小值分别为，
而，
故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为。