Question

18．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x³-x²+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是$（{\frac{1}{8}，\frac{1}{4}}）$．

Answer 1

分析 根据定义得出$\frac{f（2a）-f（0）}{2a}$=8a²-2a，相当于6x²-2x=8a²-2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可

解答 解：f（x）=2x³-x²+m是[0，2a]上的“双中值函数”，
∴$\frac{f（2a）-f（0）}{2a}$=8a²-2a，
∵f'（x）=6x²-2x，
∴6x²-2x=8a²-2a在[0，2a]上有两个根，
令g（x）=6x²-2x-8a²+2a，
∴△=4+24（8a²-2a）＞0，
g（0）＞0，即-8a²+2a＞0，
g（2a）＞0，即24a²-4a-8a²+2a＞0，
2a＞$\frac{1}{6}$，
解得：a∈$（{\frac{1}{8}，\frac{1}{4}}）$
故答案为：$（{\frac{1}{8}，\frac{1}{4}}）$

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，熟练掌握方程根与对应函数零点之间的关系是解答的关键．