Question

【题目】已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于曲线C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，

故曲线C的参数方程为 ，（θ为参数）．

对于直线l： ，

由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；

（2）解：设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．

P到直线l的距离为 ．

则 ，其中α为锐角．

当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为 ．

当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为 ．

【解析】（1）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．