Question

设函数f(x)＝log_a(a^x＋)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)的单调性并证明．

Answer 1

(1)由已知f(x)的定义域为R……1分，所以f(－x)＝log_a(a^－x＋)＝f(x)，故f(x)为偶函数………4分．
(2)设h(x)＝a^x＋，当a＞1时，令x₁＞x₂＞0，故h(x₁)＞h(x₂)，log_ah(x₁)＞log_ah(x₂)，即f(x₁)＞f(x₂)，当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数…………10分．
同理可证当0＜a＜1时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数

略