Question

（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于
点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

Answer 1

（1）.
（2）当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

(1) 曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可知曲线C₁为抛物线，此方程为.
(2) 当点P在直线上运动时，设P的坐标为，又，则过P且与圆
相切的切线方程为.则
整理得
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故
由得
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,
则同理由可得
这样可得,然后展开将代入化简即可得到定值.
由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.
（2）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.
于是
整理得       ①
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故     ②
由得    ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，
所以   ④
同理可得    ⑤
于是由②，④，⑤三式得

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所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.