【题目】已知函数.
(1)讨论极值点的个数;
(2)若是
的一个极值点,且
,证明:
.
【答案】(1) 当时,
无极值点;当
时,
有
个极值点;当
或
时,
有
个极值点;(2)证明见解析
【解析】
(1)求导得到;分别在
、
、
和
四种情况下根据
的符号确定
的单调性,根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数;(2)由(1)的结论和
可求得
,从而得到
,代入函数解析式可得
;令
可将
化为关于
的函数
,利用导数可求得
的单调性,从而得到
,进而得到结论.
(1)
①当时,
当
时,
;当
时,
在
上单调递减;在
上单调递增
为
的唯一极小值点,无极大值点,即此时
极值点个数为:
个
②当时,令
,解得:
,
⑴当时,
和
时,
;
时,
在
,
上单调递增;在
上单调递减
为
的极大值点,
为
的极小值点,即
极值点个数为:
个
⑵当时,
,此时
恒成立且不恒为
在
上单调递增,无极值点,即
极值点个数为:
个
⑶当时,
和
时,
;
时,
在
,
上单调递增;在
上单调递减
为
的极大值点,
为
的极小值点,即
极值点个数为:
个
综上所述:当时,
无极值点;当
时,
有
个极值点;当
或
时,
有
个极值点
(2)由(1)知,若是
的一个极值点,则
又,即
令
,则
,
则
当时,
,
当
时,
;当
时,
在
上单调递增;在
上单调递减
,即
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果数列对于任意
,都有
,其中
为常数,则称数列
是“间等差数列”,
为“间公差”.若数列
满足
,
,
.
(1)求证:数列是“间等差数列”,并求间公差
;
(2)设为数列
的前n项和,若
的最小值为-153,求实数
的取值范围;
(3)类似地:非零数列对于任意
,都有
,其中
为常数,则称数列
是“间等比数列”,
为“间公比”.已知数列
中,满足
,
,
,试问数列
是否为“间等比数列”,若是,求最大的整数
使得对于任意
,都有
;若不是,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表:
反馈点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百件)/天 | 0. 5 | 0. 6 | 1 | 1. 4 | 1. 7 |
(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量(百件)与返还点数
之间的相关关系. 请用最小二乘法求
关于
的线性回归方程
,并预测若返回6个点时该商品每天销量;
(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整. 已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间(百分比) | ||||||
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(ⅰ)求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0. 1);
(ⅱ)将对返点点数的心理预期值在和
的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查,设抽出的2人中,至少有一个人是“欲望膨胀型”消费者的概率是多少?
参考公式及数据:①,
;②
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生,并统计了她们的数学成绩(成绩均为整数且满分为150分),得到的样本频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
2 | 0.04 | |
3 | 0.06 | |
14 | 0.28 | |
15 | 0.30 | |
4 | 0.08 | |
合计 |
(1)在给出的样本频率分布表中,求,
,
,
的值;
(2)估计成绩在120分以上(含120分)学生的比例;
(3)抽取的50名学生中,为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩在的学生中选两位同学,共同帮助成绩在
中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分,乙同学的成绩为135分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)>a在x∈[﹣1,1]恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)设,求函数
的单调增区间;
(2)设,求证:存在唯一的
,使得函数
的图象在点
处的切线l与函数
的图象也相切;
(3)求证:对任意给定的正数a,总存在正数x,使得不等式成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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