Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA₁=2，点G与E分别为线段A₁B₁和C₁C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量 ，，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（0，2，1），
G（1，0，2），F（x，0，0），D（0，y，0）=（1，-y，2），=（x，-2，-1）
由于GD⊥EF，
所以   x+2y-2=0
∴|DF|===
∴当y=时，线段DF长度的最小值是 ．
故答案为：．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题．解决问题的关键在于建立适当的直角坐标系，把问题转化为利用二此函数知识解决．