Question

如图，P为60°的二面角α-l-β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：计算题,空间角

分析：作出P关于两个平面α，β对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，由已知条件推导出△PAB周长L=PM+PN+MN=AM+MN+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN，即为△PAB周长的最小值．

解答： 解：如图，作出P关于两个平面α，β的对称点M、N，连接MN，
线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，
则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN，当A与C重合，B与D重合时，
由两点之间线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，
根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，
∴MP=4，NP=6，
∵大小为60°的二面角α-l-β，
∴∠EOF=60°，
∴∠MPN=120°，
根据余弦定理有：
MN²=MP²+NP²-2MP•NP•cos∠MPN=4²+6²-2×4×6×（-

1

2

）=76，
∴MN=2

19

，
∴△PAB周长的最小值等于2

19

．
故答案为：2

19

．

点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，注意运用对称的方法，同时考查二面角的定义和求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．