已知等比数列{an}的公比为q,首项为a1,其前n项的和为Sn.数列{an2}的前n项的和为An,数列{(-1)n+1an}的前n项的和为Bn.
(1)若A2=5,B2=-1,求{an}的通项公式;
(2)①当n为奇数时,比较BnSn与An的大小;
②当n为偶数时,若|q|≠1,问是否存在常数λ(与n无关),使得等式(Bn-λ)Sn+An=0恒成立,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)由题意知
,由此可知
an=-()n-2,或a
n=2
n-1.
(2)由题设条件知数列{a
n2},{(-1)
n+1a
n}均为等比数列,首项分别为a
12,a
1,公比分别为q
2,-q.
①当n为奇数时,当q=1时,B
nS
n=na
12=A
n.当q=-1时,B
nS
n=na
12=A
n.当q≠±1时,B
2k-1S
2k-1=A
2k-1.综上所述,当n为奇数时,B
nS
n=A
n.
②当n为偶数时,存在常数
λ=,使得等式(B
n-λ)S
n+A
n=0恒成立.由此入手能够推导出存在常数
λ=,使得等式(B
n-λ)S
n+A
n=0恒成立.
解答:解:(1)∵A
2=5,B
2=-1,
∴
∴
或
(2分)
∴
an=-()n-2,或a
n=2
n-1.(4分)
(2)∵
=()2=q2=常数,
=(-1)×=-q=常数,
∴数列{a
n2},{(-1)
n+1a
n}均为等比数列,
首项分别为a
12,a
1,公比分别为q
2,-q.(6分)
①当n为奇数时,当q=1时,S
n=na
1,A
n=na
12,B
n=a
1,
∴B
nS
n=na
12=A
n.当q=-1时,S
n=a
1,A
n=na
12,B
n=na
1,
∴B
nS
n=na
12=A
n.(8分)
当q≠±1时,设n=2k-1(k∈N
*),
S2k-1=,
A2k-1==,
B2k-1==,
∴B
2k-1S
2k-1=A
2k-1.综上所述,当n为奇数时,B
nS
n=A
n.(10分)
②当n为偶数时,存在常数
λ=,
使得等式(B
n-λ)S
n+A
n=0恒成立.(11分)
∵|q|≠1,∴
Sn=,
An=,
Bn=.
∴(B
n-λ)S
n+A
n=
[-λ]+=
-+=
-=
(-λ).(14分)
由题设,
(-λ)=0对所有的偶数n恒成立,
又
≠0,∴
λ=.(16分)
∴存在常数
λ=,使得等式(B
n-λ)S
n+A
n=0恒成立.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.