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【题目】已知函数)在其定义域内有两个不同的极值点.

(Ⅰ)求实数的取值范围;

(Ⅱ)记两个极值点分别为 ),求证: .

【答案】见解析

【解析】试题分析:(Ⅰ求导,将函数由两个不等极值转化为导函数有两个不等零点,再进一步转化为两函数图象的交点问题;(合理构造函数,将证明不等式转化为求函数的最值问题,再利用导数进行求解.

试题解析:(Ⅰ)依题,函数的定义域为,所以方程有两个不同根,即方程有两个不同根.即函数与函数的图象在上有两个不同交点,可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,只须.令切点,所以,又,所以

解得, ,于是,所以.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 分别是方程的两个根,即.

作差得, ,即.

所以不等式,等价于

下面先证,即证

,即证),

),则

上单调递增,∴

得证,从而得证;

再证,即证,即证),

),则

上单调递减,∴

得证,从而得证,

综上所述, 成立,即.

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(2)直线 ,联立,得到

弦长

型】解答
束】
19

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