【题目】已知函数()在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)记两个极值点分别为, (),求证: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,将函数由两个不等极值转化为导函数有两个不等零点,再进一步转化为两函数图象的交点问题;(Ⅱ)合理构造函数,将证明不等式转化为求函数的最值问题,再利用导数进行求解.
试题解析:(Ⅰ)依题,函数的定义域为,所以方程在有两个不同根,即方程在有两个不同根.即函数与函数的图象在上有两个不同交点,可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,只须.令切点,所以,又,所以,
解得, ,于是,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 分别是方程的两个根,即.
作差得, ,即.
所以不等式,等价于,
下面先证,即证,
令,∵,∴,即证(),
令(),则,
∴在上单调递增,∴,
即得证,从而得证;
再证,即证,即证(),
令(),则,
∴在上单调递减,∴,
即得证,从而得证,
综上所述, 成立,即.
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【题目】湖南省某自来水公司每个月(记为一个收费周期)对用户收一次水费,收费标准如下:当每户用水量不超过30吨时,按每吨2元收取;当该用户用水量超过30吨但不超过50吨时,超出部分按每吨3元收取;当该用户用水量超过50吨时,超出部分按每吨4元收取。
(1)记某用户在一个收费周期的用水量为吨,所缴水费为元,写出关于的函数解析式;
(2)在某一个收费周期内,若甲、乙两用户所缴水费的和为214元,且甲、乙两用户用水量之比为3:2,试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量.
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【题目】已知抛物线关于轴对称,顶点在坐标原点,直线经过抛物线的焦点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点, ,且满足,证明直线过轴上一定点,并求出点的坐标.
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【题目】一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况,随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况,如下表:
若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”,网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.
(1)确定的值,并补全频率分布直方图;
(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数;若平均数和中位数至少有一个不低于2千元,则该网店当日被评为“皇冠店”,试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.
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【题目】已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f( )=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若f( )=﹣ ,α∈( ,π),求sin(α+ )的值.
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【题目】已知抛物线: 的焦点为圆的圆心.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若斜率的直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点,求弦长.
【答案】(1);(2)8.
【解析】试题分析:(1)先求圆心得焦点,根据焦点得抛物线方程(2)先根据点斜式得直线方程,与抛物线联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式得弦长.
试题解析:(1)圆的标准方程为,圆心坐标为,
即焦点坐标为,得到抛物线的方程:
(2)直线: ,联立,得到
弦长
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间和极值.
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【题目】选修4﹣1:几何证明选讲
如图,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=ADBC.
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