Question

直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为

 

．

Answer 1

分析：由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．

解答：解：∵直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，3），
∴

k+1=3 1+a+b=3

…①
又∵y=x³+ax+b，
∴y'=3x²+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②
∴由①②得：b=3．
故答案为：3．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．