Question

函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-20|（　　）

A．图象无对称轴，且在R上不单调

B．图象无对称轴，且在R上单调递增

C．图象有对称轴，且在对称轴右侧不单调

D．图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增

Answer 1

分析：函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-20|表示数轴上的x对应点到1，2，3…19，20 对应点的距离之和，分类讨论化简函数的解析式，作出函数的图象，结合图象得出结论．

解答：解：函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-20|表示数轴上的x对应点到1，2，3…19，20 对应点的距离之和，
当x∈[1，20]时，|x-1|+|x-20|取得最小值等于19，
当x∈[2，19]时，|x-2|+|x-19|取得最小值等于17，
当x∈[3，18]时，|x-3|+|x-18|取得最小值等于15，
…
当x∈[10，11]时，|x-10|+|x-11|取得最小值等于1．
综上，当x∈[10，11]时，函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-20|取得最小值等于19+17+15+…+2+1=100．
当x＞20时，函数y=20x-210，
当x＜1时，函数y=210-20x，
故函数的图象关于直线 x=

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对称，如图所示．

故选 D．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数图象的特征，函数的单调性和奇偶性的应用，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．