Question

（2010•九江二模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[0，2]上单调，若存在x₀∈（0，2）使f（x₀）=0，则方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于

8024

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Answer 1

分析：利用f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），∴函数是以4为周期的周期函数，又因为偶函数在[0，2]上单调，且存在x₀∈（0，2）使f（x₀）=0，可得在x∈[2002，2006]上两根之和及在x∈[2006，2010]上两根之和，从而得解．

解答：解：由题意，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函数以4为周期，
∵偶函数在[0，2]上单调，且存在x₀∈（0，2）使f（x₀）=0，
∴在x∈[2002，2006]上两根之和为2004×2=4008，
在x∈[2006，2010]上两根之和为2008×2=4016，
∴方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于4008+4016=8024
故答案为8024．

点评：本题的考点是函数的周期性，主要考查函数的周期，函数的零点，关键是利用条件f（x+2）=-f（x），判断出函数的周期，利用函数在[0，2]上单调，且存在x₀∈（0，2）使f（x₀）=0，从而研究方程根问题．