Question

设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”的充要条件是（　　）

A．a+b＞2

B．a+b＞2且ab＞1

C．a+b＞2且ab-a-b+1＞0

D．a+b＞2且b＞1

Answer 1

分析：a＞1，b＞1⇒a-1＞0，b-1＞0⇒ab-a-b+1＞0，故“a＞1且b＞1”⇒“a+b＞2且ab-（a+b）+1＞0”，；现在有a+b＞2，且ab-a-b+1＞0，得（a-1）（b-1）＞0，且（a-1）+（b-1）＞0，故“a+b＞2且ab-（a+b）+1＞0”⇒“a＞1且b＞1”．所以“a＞1且b＞1”成立的充要条件是“a+b＞2且ab-（a+b）+1＞0”．

解答：解：a＞1，b＞1⇒a-1＞0，b-1＞0，
∴a-1+b-1＞0，即a+b＞2，
（a-1）（b-1）＞0，
即ab-a-b+1＞0，
∴“a＞1且b＞1”⇒“a+b＞2且ab-（a+b）+1＞0”；
现在有a+b＞2，且ab-a-b+1＞0，
得（a-1）（b-1）＞0，且（a-1）+（b-1）＞0，
于是必有a-1＞0，b-1＞0，
即a＞1，b＞1，
∴“a+b＞2且ab-（a+b）+1＞0”⇒“a＞1且b＞1”，
所以“a＞1且b＞1”成立的充要条件是“a+b＞2且ab-（a+b）+1＞0”．
故选C．

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用．解题时要认真审题，仔细解答．