Question

【题目】已知椭圆C： 的右焦点为F（1，0），且点（﹣1， ）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，c=1

∵点（﹣1， ）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a= ，∴a=

∴b2=a2﹣c2=1，

∴椭圆C的标准方程为

（2）解：假设x轴上存在点Q（m，0），使得 恒成立

当直线l的斜率为0时，A（ ，0），B（﹣ ，0），则 =﹣ ，∴ ，∴m= ①

当直线l的斜率不存在时， ， ，则 =﹣ ，

∴

∴m= 或m= ②

由①②可得m= ．

下面证明m= 时， 恒成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∴ =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（ty1﹣ ）（ty2﹣ ）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣ t（y1+y2）+ = + =﹣

综上，x轴上存在点Q（ ，0），使得 恒成立

【解析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．